КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ

​АҢДАТПА

Бұл мақалада көп айнымалы функцияны дифференциалдауға байланысты әдебиеттер көрсетіліп, оларды шығару әдісі көрсетілген. Сонымен қатар, дифференциалдауға қатысты анықтама берілген. Формуланың пайдаланып, көп айнымалы функцияның дифференциалдауына мысал келтірілген. Бұл мақаланың мақсаты –  студентке тиімді әдісті қолдану.

Тірек сөздер: дифференциал, өсімше, туынды, аргумент, инвариантті, бір айнымалы, көп айнымалы, шексіз аз жоғарғы ретті, сызықтық.

Табиғатта, техникада, физикада болып жатқан көптеген құбылыстарды бір айнымалы функция арқылы сипаттау мүмкін емес. Тәуелділіктердің бұл түрін зерттеу үшін бірнеше функция ұғымы енгізіледі. Көп айнымалы функциялар бір айнымалы функциялардың табиғи жалпылауы ретінде математиканың дербес бөлімінде біршама уақыт бұрын пайда болғаны және табиғатта бар көптеген заңдылықтарды сипаттауға мүмкіндік беретін құрал екені белгілі. Мысалы, кәсіпорынның табыстылығы пайдаға, негізгі және айналым капиталына байланысты.

Көп айнымалы функцияның дифференцидануы Ю. В. Селиванов, В. В. Дементьева, О. В. Болотникова, Д. В. Тарасов, Г. М.Фихтенгольц, Л. Д.Кудрявцев, Н.Темірғалиев, В.Ф.Бутузов авторларының еңбектерінде кеңінен зерттелген. Фихтенгольцтің «Математикалық талдау» еңбегінде дифференциалдық есептеулер 17 ғасырда пайда болып, 18 ғасырда дамығандығы туралы айтылған. Сонымен қатар, дифференциалды функцияның өсімшесінің сызықтық бөлңгң арқылы тапса, ал Кудрявцев дифференциалдауды Тейлор формуласын пайдаланып түсіндіреді. Темірғалиев көп айнымалы функцияның дифференциалдауына мынада анықтама берген:

Бұл анықтама функция аргументінің тәуелсіз өсімшесі түрінде алынған.

Бутузов еңбегіне шолу жасайық.

Кейбір ашық  облысында  функциясы бар болсын; осы облыста  нүктесін аламыз. Егер біз  және  орнына  және  тұрақты мәндерін жазатын болсақ және  айнымалысын өзгертіп отыратын болсақ, онда  функциясы  маңайында  бір айнымалысынан тәуелді функция болады; оның  нүктесіндегі туындысын  есептеу жөніндегі сұрақты қоятын боламыз. Бұл  мәніне  өсімшесін береміз, онда функцияның келесідей өсімшесі болады

,

оны дербес өсімше ( бойынша ) деп атауға болады, өйткені ол бір ғана айнымалының мәнінің өзгерісімен ғана жасалған. Туындының өзінің анықтамасы бойынша ол өз алдына келесі шекті білдіреді

.

Бұл  нүктесінде  бойынша  функциясының дербес туындысы деп аталады.

Бұл анықтамадан көріп отырғанымыздай барлық коордниталар тең мәндес емес, өйткені  және  бекітілген, ал  коорднитасы  –ге ұмтыла отырып өзгереді. Дербес туындыны төмендегі символдардың бірімен белгілейміз:

.

Бұл белгілеулердің төменгі жағында орналасқан  әріпі туындының қандай айнымалы бойынша алынатындығын ғана көрсетеді және қандай нүктеде  туындыны есептейтіндігімізбен байланысты болмайды.

Ұқсас түрде  және  тұрақты деп есептей отырып, ал  айнымалысы бойынша шекті деп қарастыруға болады

.

 айнымалысы бойынша  нүктесінде  функциясының дербес туындысы деп аталады және алдыңғыға ұқсас символдармен белгіленеді:

.

Дәл осылай  айнымалысы бойынша  нүктесіндегі функциясының дербес туындысы анықталады.

Мысалдар: 1)  болсын; бұл фукнцияның дербес туындылары келесі түрде болады:

.

Біріншісі -тен алынған ( кезінде ) дәрежелік функцияның туындысы сияқты, ал екіншісі -тен алынған ( кезінде) көрсеткіштік функциясының туындысы сияқты есептеледі.

2) Егер  болса, онда

.

3)  үшін келесі туындыны аламыз:

.

Функцияның толық туындысы. Егер тәуелсіз айнымалыларының  мәндерінен шыға отырып, олардың үшеуіне де кейбір өсімшелерін беретін болсақ, онда  функциясының өсімшесі келесі түрде болады

,

оны функцияның толық өсімшесі деп атаймыз.

Бір айнымалыдан тәуелді  функциясы жағдайында нүктесіндегі (ақырлы)  туындысының бар болуы ұйғарымында функцияның өсімшесі үшін төмендегі формула орынды болады:

,

мұндағы  бұл -тен тәуелді болады және  кезінде  болады.

Біз  функциясының өсімшесі үшін ұқсас формуланы орнатамыз:

           (1)

мұндағы,  бұл -тен тәуелді болады және олармен бірге нөлге ұмтылады.         Көп айнымалы функциялары теориясы, кеңістіктегі көп айнымалы функциялардың жеке туындылары мен дифференциалдары математика мен механиканың барлық дерлік салаларында кеңінен қолданылатыны белгілі.

Осы орайда студенттердің көп айнымалы функцияларды дифференциалдау талдау дағдыларын дамытуға болады. Осындай есептерді шығару үшін студентке тиімді, әрі түсінікті әдіспен шығару жолын табу өте маңызды. Студенттер бір тақырыптың түсіндірілуінің бірнеше әдісін ізденіп, білім тәжірибесінде көрініс тапса, олардың математикаға қызығушылығы одан сайын еселеніп артады.

Әдебиеттер тізімі:

1. Г. М.Фихтенгольц «Основы математического анализа»
2. Л. Д.Кудрявцев «Курс математического анализа»
3. Н.Темірғалиев «Математикалық анализ»
4. В.Ф.Бутузов «Лекция по математическому анализу»